По условию O₁M=MN=NO₂.      R=O₁N = 2/3 * O₁O₂,  значит, O₁O₂=3/2 *32 = 48.

Пусть третья окружность касается первых двух в точках А и В, а прямой O₁O₂ — в точке С. Обозначим радиус этой окружности r.

Проведем ОС _|_ MN. Рассмотрим 3-к ОСО₁ и 3-к ОСО₂. Они равны по гипотенузе и общему катету.  О₁О=R-r и  O₂O=R-r.

Из равенства 3-ков следует, что О₁С=О₂С= 48/2=24.

В 3-ке ОСО₁:  ОО₁=R-r=32-r,  OC=r,  O₁C=24.

По теореме Пифагора: 24² + r² = (32 - r)²

576+r² = 1024 -64r +r²

64r = 448;    r= 7.

Ответ: 7.